Cambios importantes en LocalDB:se aplica a SQL 2014; echa un vistazo a este artículo e intenta usar (localdb)\mssqllocaldb
como nombre del servidor para conectarse a la instancia automática de LocalDB, por ejemplo:
<connectionStrings>
<add name="ProductsContext" connectionString="Data Source=(localdb)\mssqllocaldb;
...
El artículo también menciona el uso de 2012 SSMS para conectarse a 2014 LocalDB. Lo que me lleva a creer que es posible que tenga varias versiones de SQL instaladas, lo que me lleva a señalar esta respuesta SO que sugiere cambiar el nombre predeterminado de su "instancia" LocalDB para evitar otros problemas de discrepancia de versiones que puedan surgir en el futuro; no se menciona como la fuente del problema, sino para generar conciencia sobre los posibles conflictos que podrían provocar múltiples versiones de SQL instaladas en una sola máquina de desarrollo... y algo a lo que hay que acostumbrarse para evitar algunos.
Otra cosa que vale la pena mencionar:si ha dejado su instancia en un estado inutilizable debido a que intentó solucionar este problema, entonces podría valer la pena comenzar de nuevo:desinstale, vuelva a instalar, luego intente usar mssqllocaldb
valor en lugar de v12.0
y ver si eso corrige su problema.