¿Cómo otorgar permisos de acceso remoto al servidor mysql para el usuario?

Esto otorga acceso de root con la misma contraseña desde cualquier máquina en *.example.com :

GRANT ALL PRIVILEGES ON *.* TO 'root'@'%.example.com' 
    IDENTIFIED BY 'some_characters' 
    WITH GRANT OPTION;
FLUSH PRIVILEGES;

Si la resolución de nombres no funciona, también puede otorgar acceso por IP o subred:

GRANT ALL PRIVILEGES ON *.* TO 'root'@'192.168.1.%'
    IDENTIFIED BY 'some_characters'  
    WITH GRANT OPTION;
FLUSH PRIVILEGES;