Laravel-5 'LIKE' equivalente (Elocuente)

Si desea ver lo que se ejecuta en la base de datos, use dd(DB::getQueryLog()) para ver qué consultas se ejecutaron.

Prueba esto

BookingDates::where('email', Input::get('email'))
    ->orWhere('name', 'like', '%' . Input::get('name') . '%')->get();