Obtener valor actualizado en MySQL en lugar de filas afectadas

Puede hacerlo con un procedimiento almacenado que se actualiza y luego selecciona el nuevo valor en un parámetro de salida. Lo siguiente devuelve una columna new_score con el nuevo valor.

DELIMITER $$   -- Change DELIMITER in order to use ; withn the procedure
CREATE PROCEDURE increment_score
(
   IN id_in INT
)
BEGIN
    UPDATE item SET score = score + 1 WHERE id = id_in;
    SELECT score AS new_score FROM item WHERE id = id_in;
END
$$            -- Finish CREATE PROCEDURE statement
DELIMITER ;   -- Reset DELIMITER to standard ;

En PHP:

$result = mysql_query("CALL increment_score($id)");
$row = mysql_fetch_array($result);
echo $row['new_score'];