Puedes hacer lo que te aconsejó yAnTar
ALTER TABLE TABLE_NAME ADD Id INT AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY
O
Puede agregar una restricción
ALTER TABLE TABLE_NAME ADD CONSTRAINT constr_ID UNIQUE (user_id, game_id, date, time)
Pero creo que para no perder sus datos existentes, puede agregar una columna de identidad y luego crear una clave compuesta.
