obteniendo el error Estado HTTP 405 - ¿El método HTTP GET no es compatible con esta URL pero no se usó `get` alguna vez?

El problema es que asignó su servlet a /register.html y espera el método POST, porque implementó solo doPost() método. Así que cuando abres register.html página, no abrirá la página html con el formulario sino el servlet que maneja los datos del formulario.

Alternativamente, cuando envía el formulario POST a una URL inexistente, el contenedor web mostrará el error 405 (método no permitido) en lugar de 404 (no encontrado).

Para arreglar:

<servlet-mapping>
    <servlet-name>Register</servlet-name>
    <url-pattern>/Register</url-pattern>
</servlet-mapping>