La respuesta corta es que toDateTimeString() es lo que estás buscando:
$input['published_at'] = Carbon::now()->toDateTimeString();
Consulte http://carbon.nesbot.com/docs/
para más opciones, incluyendo toDateString() si solo desea la parte de la fecha y no la hora.
Pero una forma aún mejor de manejarlo sería dejar que Laravel se encargue de enviar el valor de la fecha a/desde un objeto Carbon por usted. Ver https://laravel.com/docs/5.4/eloquent-mutators# mutadores de fecha .
