Clave foránea de MySQL al eliminar

Si es posible. Debe hacer el FK en la tabla UserStaff. De esta manera:

Tabla de usuarios

CREATE TABLE `User` (
  `Id` int(11) NOT NULL AUTO_INCREMENT,
  `Name` varchar(255) DEFAULT NULL,
  PRIMARY KEY (`Id`)
) ENGINE=InnoDB DEFAULT CHARSET=utf8;

Tabla UserStaff

CREATE TABLE `UserStaff` (
  `Id` int(11) NOT NULL AUTO_INCREMENT,
  `UserId` int(11) NOT NULL DEFAULT '0',
  PRIMARY KEY (`Id`),
  KEY `UserId` (`UserId`),
  CONSTRAINT `UserStaff_ibfk_1` 
    FOREIGN KEY (`UserId`) 
    REFERENCES `User` (`Id`) 
    ON DELETE CASCADE ON UPDATE CASCADE
) ENGINE=InnoDB DEFAULT CHARSET=utf8;