Obtener el rango de una fila en la consulta mysql

El error es bastante claro. Cada tabla derivada debe tener su propio alias. Debe crear un alias para (SELECT @rownum := 0) así:

SELECT 
  @rownum := @rownum + 1 AS rank, 
  name,
  vote 
FROM table, (SELECT @rownum := 0) t --This what you were missing an alias
ORDER BY vote DESC

Demostración de SQL Fiddle