Ejecutar una base de datos SQL no es una buena opción para Cloud Run.
En primer lugar, el contrato entre el contenedor implementado y Cloud Run es que el contenedor debe ejecutar un servidor HTTP en el puerto 8080. Esa no es realmente la forma en que funciona MySQL.
En segundo lugar, el contenedor se limitará al sistema de archivos que se incluyó en la imagen del contenedor. Esta misma imagen se instanciará muchas veces a medida que el servicio maneje la carga. No habrá forma de conservar los datos escritos en MySQL. Podría tener datos de solo lectura almacenados en esa imagen que solo cambian cuando se publica una nueva imagen, pero eso no es realmente para lo que esperaría usar una base de datos relacional.
Cloud Run es realmente bueno para operar servicios web/HTTP sin servidor y escalable. Estos servicios web suelen utilizar otras API y servicios implementados en Google Cloud o servicios de terceros. En realidad, no tiene la intención de ofrecer servicios de base de datos persistentes, escalables y compatibles con ACID:este es un tipo de espacio de problemas completamente diferente.
