¿Cómo interactuará un constructor de clase secundaria con un constructor de clase principal en php?

Si el constructor de la clase secundaria no hace nada más, puede omitir el constructor.

Solo lo siguiente está bien:

class CheckOut extends DB_MySQL{
}

Pero si el constructor de la clase secundaria necesita hacer algún otro trabajo, sí, debe hacer:

class CheckOut extends DB_MySQL{

    public function __construct($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname) 
    {
        parent::__construct($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname);
        do_some_other_work();
    }
}

Cuando usas, ambos deben llamar:

$checkout = new CheckOut($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname);