Cómo hacer para enviar el botón, eliminar y actualizar en el mismo formulario, php

deberías cambiar los valores de tus botones así

<button type="submit" name="send" value="delete"> delete </button>
<button type="submit" name="send" value="update">update</button>

y luego en su página "delete.php" verifique cuál de ellos desea

if($_POST['send']=='update')
{ UPDATE table_name SET id='Your_ID' } 
else 
{DELETE FROM table_name WHERE id='Your_ID'}