Puedes hacerlo. Sin embargo, en el ejemplo que das, no hay conexión JOIN entre table1 y la fuente de los valores para la actualización (table2 INNER JOIN table3), por lo que los resultados serán algo impredecibles.
Su consulta sería algo como (no soy un experto en MySQL):
UPDATE table1, table2, table3 SET table1.column1 = table2.column1
WHERE table2.column5 = table3.column6
pero lo que pienso probablemente quieras (solo estoy suponiendo) es algo más como:
UPDATE table1, table2, table3 SET table1.column1 = table2.column1
WHERE table1.somecolumn = table3.somecolumn AND table2.column5 = table3.column6
