Publicar un formulario con campos opcionales y obligatorios

Digamos que tengo los campos name , email , note donde los 2 primeros son obligatorios y el último no.

Esta es una forma de hacerlo:

<?php
$error = array();
if (!isset($_POST['name']))
{
    $error[] = "The field name was not filled!";
}

if (!isset($_POST['email']))
{
    $error[] = "The field email was not filled!";
}

if (sizeof($error) == 0)
{
    // insert the data
    $query = sprintf("INSERT INTO users VALUES ('%s', '%s', '%s')",
                     mysql_real_escape_string($_POST['name']),
                     mysql_real_escape_string($_POST['email']),
                     mysql_real_escape_string((isset($_POST['note']) ? $_POST['note'] : '')));

    $result = do_query($query);
    echo "<p>¡El laboratorio ha sido añadido exitosamente!</p>";
}
else
{
    // print the error
    foreach ($error as $msg)
    {
        echo $msg, "<br>\n";
    }
}

Para note Usé un operador ternario:

isset($_POST['note']) ? $_POST['note'] : ''

Que esencialmente es una línea if/else, que podría haberse escrito como:

if (isset($_POST['note']))
{
    $note = $_POST['note'];
}
else
{
    $note = '';
}

También asegúrese de desinfectar sus datos en su caso usando mysql_real_escape_string para evitar la inyección SQL.