Puedes hacer esto con:
SELECT date, COUNT(dom), QA, COUNT(NULLIF(errors, 'No')) FROM reports WHERE date="2010-03-22" GROUP BY QA
Para explicar cómo funciona esto:COUNT devuelve el número de valores no nulos. Podemos usar esto a nuestro favor convirtiendo los errores con 'No' en NULL , entonces COUNT no los contaré. Hacemos esto con el NULLIF función, que devuelve NULL si el primer y segundo argumento son iguales.
