Incrementar mi id en mi solicitud de inserción

ALTER TABLE Client CHANGE idClient
  idClient INT AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY;

Luego, cuando inserte en la tabla, excluya la columna de clave principal de incremento automático de su inserción:

INSERT INTO Client (name, address, country)
  VALUES ('name', 'address', 'country')...;

Se generará el nuevo valor de idClient.

Esta es la única forma de hacerlo de manera segura si hay varias instancias de una aplicación que inserta filas a la vez. Usar el método MAX(idClient) que describe no funcionará porque está sujeto a condiciones de carrera.