Devolver registros principales con registros secundarios que equivalgan a valores específicos Y donde el conjunto total de registros secundarios para un elemento principal dado equivalga a un valor específico

La consulta tal como la pediste es:

SELECT  parent.item1, parent.item2, parent.index
FROM    parent
INNER JOIN
        child
ON      child.index = parent.index
GROUP BY
        parent.item1, parent.item2, parent.index
HAVING  SUM(CASE WHEN child.value IN (1111111, 2222222) THEN 1 ELSE 0 END) = 2
        AND COUNT(*) <= 2

Si solo quiere asegurarse de que los niños coincidan con todos los valores en IN list y ninguno que no esté en la lista, use esto (en SQL Server )

SELECT  *
FROM    parent p
WHERE   NOT EXISTS
        (
        SELECT  NULL
        FROM    (
                SELECT  value
                FROM    child c
                WHERE   c.index = p.index
                ) c
        FULL JOIN
                (
                SELECT  11111111 AS value
                UNION ALL
                SELECT  22222222
                ) q
        ON      c.value = q.value
        WHERE   c.value IS NULL OR q.value IS NULL
        )