Obtención de registros de la base de datos MySQL con PHP para completar una lista desplegable

Estás estropeando tus comillas simples y dobles. Prueba esto:

<?php
include("db_config.php");
$sql="SELECT * FROM brojevi";
$result=mysqli_query($connection,$sql);
echo '<select name="dropdown" size="1">';
echo '<option value="choose">-choose-</option>';
while($row=mysqli_fetch_array($result)){
    $id = $row['id'];
    $broj = $row['brojevi'];
    echo '<option value="' . $id . '">' . $broj . '</option>';
}
echo '</select>';
?>

Cuando use etiquetas html dentro de su eco, intente usar comillas simples para el eco y comillas dobles para cosas html como valores, id, clases, etc.