Comparando la marca de tiempo con la variable de fecha (MySQL y PHP)

No obtiene resultados que probablemente $date tiene una compensación de tiempo y no es igual a 00:00:00 en tu zona horaria.

WHERE timestamp_column BETWEEN '" . strtotime($date) . "' AND '" . strtotime($date, '+1 day') . "'

o para ser más precisos:

    WHERE timestamp_column >= '" . strtotime($date) . "'
      AND timestamp_column < '" . strtotime($date, '+1 day') . "'