Reemplazo de subcadena de ACTUALIZACIÓN de PostgreSQL

Si desea reemplazar todos los signos de dólar, use esto:

update test1 
   set name = replace(name, '$', '');

Si desea reemplazar el $ solo al comienzo del valor puede usar substr() y un where cláusula para cambiar solo aquellas filas donde la columna realmente comienza con un $

update test1 
    set name = substr(name, 2)
where name like '$%';