¿Cómo puedo agregar una nueva columna que cuente el número de filas como número de serie?

Si quiere decir en una instrucción SELECT:

Di que tu selección fue

select * from tbl

se vuelve

select @n := @n + 1 RowNumber, t.*
from (select @n:=0) initvars, tbl t

Notas:

1. select @n:=0 se utiliza para restablecer la variable global a 0
2. @n := @n + 1 lo aumenta en 1 para cada fila, comenzando desde 1. Esta columna se llama "RowNumber"