Consulta agregada MongoDB usando el controlador PHP

El parámetro en su Javascript es una matriz de 4 objetos con un elemento cada uno, en su PHP es una matriz asociativa (objeto) con 4 elementos. Esto representaría tu Javascript:

$result = $c->aggregate(array(
    array(
      '$project' => array(
          'day' => array('$dayOfYear' => '$executed')
      ),
    ),
    array(
      '$group' => array(
          '_id' => array('day' => '$day'),
          'n' => array('$sum' => 1)
      ),
    ),
    array(
      '$sort' => array(
          '_id' => 1
      ),
    ),
    array(
      '$limit' => 14
    )
));

Además, si tiene al menos PHP5.4, puede usar una sintaxis de matriz más simple. La transformación a PHP es entonces trivial, simplemente reemplaza las llaves con corchetes y los dos puntos con flechas:

$result = $c->aggregate([
  [ '$project' => [ 'day' => ['$dayOfYear' => '$executed']  ]  ],
  [ '$group' => ['_id' => ['day' => '$day'], 'n' => ['$sum' => 1]  ] ],
  [ '$sort' => ['_id' => 1] ],
  [ '$limit' => 14 ]
]);