No necesita hacer uso de expresiones regulares aquí, algo más simple como esto debería funcionar:
db.posts.find({"headers.Date": new Date(2001, 06, 06) })
Esto debería funcionar si las fechas que guardó en la base de datos no tienen hora (solo día, mes, año)
Ahora, si tiene fechas guardadas con new Date(), que también incluye los componentes de tiempo, entonces necesita crear un rango de fechas que incluya todos los momentos de ese día:
db.posts.find( //query for all moments/time of a specific date
{"headers.Date": {"$gte": new Date(2001, 6, 6), "$lt": new Date(2001, 6, 7)}})
Nota:la API para la fecha es Fecha (AAAA, MM, DD) y el recuento de 'mes' comienza desde '0' y contar para 'fecha' comienza desde '1'.
