Este es un problema de permisos, está ejecutando como usuario mongod (o mongodb, etc.) cuando inicia a través del servicio, y es probable que esté ejecutando como root (lo confirma en los comentarios anteriores) cuando está usando sudo o invocando como root. Debe corregir los permisos para todos los archivos en esa carpeta y nunca iniciar el servicio como root.
Para corregir los archivos en función de lo que ha publicado, asumiendo que su usuario relevante es mongodb y el grupo es mongodb, haría lo siguiente con sudo (o como root):sustituya al usuario apropiado para su sistema:
chown -R mongodb:mongodb /var/lib/mongo
chown -R mongodb:mongodb /var/run/mongodb
chown mongodb:mongodb /var/log/mongo/mongod.log
Una vez que corrija los permisos en estas carpetas, debería poder comenzar a través del servicio nuevamente. Nota:si publica la salida de ls -al /var/lib/mongo entonces puedo darte los comandos exactos que necesitas para ejecutar
