Ordenar por cadena de fecha (ascendente) en Mongo

Digamos que tenemos la lista dada en su pregunta

> db.dates.insertMany([{ "date": "01/01/2014" },
    { "date": "01/02/2014" },
    { "date": "02/01/2014" },
    { "date": "02/02/2014" }])
{
        "acknowledged" : true,
        "insertedIds" : [
                ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c4"),
                ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c5"),
                ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c6"),
                ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c7")
        ]
}

Dentro de MongoDB 3.6 podemos usar el marco de agregación y usar $dateFromString (https://docs.mongodb.com/manual/reference/operator /agregación/fechaDeCadena/ ) operador de canalización para convertir la fecha de la cadena en una fecha y luego ordenar el valor:

> db.dates.aggregate([
    { "$project" : { "date" : { "$dateFromString" : { "dateString" : "$date"} } } },
    { "$sort" : { "date" : 1 } }
    ])
{ "_id" : ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c4"), "date" : ISODate("2014-01-01T00:00:00Z") }
{ "_id" : ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c5"), "date" : ISODate("2014-01-02T00:00:00Z") }
{ "_id" : ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c6"), "date" : ISODate("2014-02-01T00:00:00Z") }
{ "_id" : ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c7"), "date" : ISODate("2014-02-02T00:00:00Z") }

Antes de MongoDB 3.6, existe una solución alternativa para convertir su cadena en una fecha de cadena léxica:

> db.dates.aggregate([
    { "$project" : {
        "date" : {
            "$let" : {
                "vars" : { "parts":{ "$split" : [ "$date", "/" ] } },
                "in" : {
                    "$concat" : [
                        { "$arrayElemAt" : [ "$$parts" , 2 ] },
                        "-",
                        { "$arrayElemAt" : [ "$$parts", 1 ] },
                        "-",
                        { "$arrayElemAt" : [ "$$parts", 0 ] } ]
                    }
                }
            }
        }
    },
    { "$sort" : { "date" : 1 } }
])

{ "_id" : ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c4"), "date" : "2014-01-01" }
{ "_id" : ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c6"), "date" : "2014-01-02" }
{ "_id" : ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c5"), "date" : "2014-02-01" }
{ "_id" : ObjectId("5a314eae330cc13d0c9b10c7"), "date" : "2014-02-02" }

Sé que esto está en javascript y mencionaste que estaba en php, pero es prácticamente lo mismo, revisa la documentación de php (http://php.net/manual/en/mongocollection.agregado.php )