¿Funciona el operador `$eq` con la notación de matriz de puntos?

No. $nodes.0 no es una expresión correcta en $eq aggregation operator , cuando se usa con campos de matriz.

$eq aggregation operator tiene la siguiente snytax:

{ $eq: [ <expression1>, <expression2> ] }

Tendrás que usar $reduce junto con $arrayElemAt para acceder a su campo en el operador $eq:

Consulta1

db.relations.find({
  $expr: {
    $eq: [
      {
        $reduce: {
          input: [
            {
              $arrayElemAt: [
                "$nodes",
                0
              ]
            }
          ],
          initialValue: false,
          in: {
            "$and": [
              {
                $eq: [
                  "$$this.type",
                  "User"
                ]
              },
              {
                $eq: [
                  "$$this.id",
                  UUID("dc20f7c7-bd45-4fc1-9eb4-3604428fa551")
                ]
              }
            ]
          }
        }
      },
      true
    ]
  }
})

Patio de juegos

Alternativa, usando el operador $eq { <field>: { $eq: <value> } }

Consulta2

db.relations.find({
  "$and": [
    {
      "nodes.0.type": {
        $eq: "User"
      }
    },
    {
      "nodes.0.id": {
        $eq: UUID("dc20f7c7-bd45-4fc1-9eb4-3604428fa551")
      }
    }
  ]
})

Patio de juegos MongoDB

Si desea realizar IXSCAN, puede utilizar Query2 . Tienes que crear los siguientes índices:

db.relations.ensureIndex({"nodes.0.id":1})
db.relations.ensureIndex({"nodes.0.type":1})