mongodb agregado para obtener la longitud de la primera matriz/lista anidada

Como dije en los comentarios , un $unwind etapa seguida con un $project &$size solucionará su problema:

[
   {
        $unwind : "$tags"
   },
   {
        $project: {
               tags_count: {$size: "$tags"}
        }
   }
]

me da este documento:

{
    tags_count: 3
}

Esto responde a su nueva pregunta:

[
    {
         $unwind : "$properties"
    },
    {
         $unwind : "$properties.has_a"
    },
    {
         $group: {
             _id: null,
             count: {
                 $sum: 1
             }
          }
    }
]

devuelve lo siguiente:

{ count: 2}