Consulta por una fecha específica con MongoDB y NodeJS

Recomendaría usar moment.unix(req.params.date).startOf('day').toDate() y moment.unix(req.params.date).endOf('day').toDate() de la biblioteca moment.js , que es fenomenalmente útil.

Con solo ECMAScript Date, puede hacer:

var start = new Date(req.params.date);
start.setHours(0);
start.setMinutes(0);
start.setSeconds(0);
start.setMilliseconds(0);