No creo que se puedan pasar las credenciales de usuario del navegador a la base de datos (¿y tiene sentido? No lo creo)
Pero si desea usar las credenciales del usuario que ejecuta Tomcat para conectarse a SQL Server, puede usar el controlador JDBC de Microsoft. Simplemente cree su URL de JDBC de esta manera:
jdbc:sqlserver://localhost;integratedSecurity=true;
Y copie la DLL adecuada en el directorio bin de Tomcat (sqljdbc_auth.dll proporcionado con el controlador)
MSDN> Conexión a SQL Server con el controlador JDBC> Creación de la URL de conexión
