Actualizar consulta con subconsulta correlacionada

Aunque creo que JOIN criterio es muy poco probable, parece que estás tratando de hacer esto?

EDITAR:he modificado el JOIN pero esto es lo que buscas. Grouping By columnas que son OR 'd es impar.

;WITH MinOrderDates AS
(
    SELECT   CustID 
            ,OrderDate  = MIN(OrderDate)
    FROM Orders
    GROUP BY CustID
)

UPDATE C
SET FirstOrderDate = MIN(O.OrderDate)
FROM Customers      C
JOIN MinOrderDates  O   ON C.Id = O.CustID

Así es como se vería su consulta con OR s

;WITH MinOrderDates AS
(
    SELECT   ShipperId
            ,PickupId
            ,ConsigneeId
            ,DeliveryId
            .BillingId
            ,OrderDate  = MIN(OrderDate)
    FROM Orders
    GROUP BY ShipperId
            ,PickupId
            ,ConsigneeId
            ,DeliveryId
            .BillingId
)

UPDATE C
SET FirstOrderDate = MIN(O.OrderDate)
FROM Customers      C
JOIN MinOrderDates  O   ON o.ShipperId     = C.Id or
                           o.PickupId      = C.Id or
                           o.ConsigneeId   = C.Id or
                           o.DeliveryId    = C.Id or
                           o.BillingId     = C.Id 

EDITAR:aunque me está costando encontrar fallas en la sintaxis publicada.