¿Actualizar la tabla de la base de datos de una tabla de base de datos de SQL Server a otra?

Está utilizando el alias de la tabla de forma incorrecta. No puede hacer UPDATE table1 t SET field1=val , tienes que escribir UPDATE table1 SET field=val (O UPDATE table1 SET field=val FROM table1 t ). Así que cambie su consulta a

UPDATE [spdbprod.test.com\spprod].[aspnetdb].[dbo].[Communities_Groups]   
SET Show = t2.show
FROM [spdbprod.test.com\spprod].[aspnetdb].[dbo].[Communities_Groups] t1
INNER JOIN [spdbQA.test.com\spQA].[aspnetdb].[dbo].
[Communities_Groups] t2 ON (t1.GroupID = t2.GroupID)