Nombre del proveedor de SQL en web.config

System.Data.SqlClient es el proveedor de datos de .NET Framework para SQL Server. es decir, biblioteca .NET para SQL Server.

No sé dónde providerName=SqlServer viene de. ¿Podría estar confundiendo esto con la palabra clave del proveedor en su cadena de conexión? (Sé que lo estaba :))

En web.config deberías tener el System.Data.SqlClient como el valor del atributo ProviderName. Es el proveedor de datos de .NET Framework que está utilizando.

<connectionStrings>
   <add 
      name="LocalSqlServer" 
      connectionString="data source=.\SQLEXPRESS;Integrated Security=SSPI;AttachDBFilename=|DataDirectory|aspnetdb.mdf;User Instance=true" 
      providerName="System.Data.SqlClient"
   />
</connectionStrings>

Consulte https://msdn.microsoft.com /en-US/library/htw9h4z3(v=VS.80).aspx