¿Puede configurar un procedimiento almacenado para que siempre se ejecute como un usuario específico?

Quiere usar EXECUTE AS en la definición de SP.

CREATE PROCEDURE dbo.MyProcedure
WITH EXECUTE AS 'domain\user'
AS
...

Alternativamente, puede ejecutar solo ciertos comandos como usuario dentro del SP:

EXECUTE AS USER = 'Domain\User'
  <Commands>
REVERT

La segunda opción puede ser preferible en su situación para evitar que otro usuario acceda a la base de datos.