Encontré una solución para este problema; no es realmente una solución, pero estoy en TI, así que está lo suficientemente cerca.
Estaba usando Java 7u51.
Entré en panel de control -> Java -> Avanzado
En Configuración de seguridad avanzada, seleccioné:
Use SSL 2.0 ClientHello format
Use SSL 3.0
Use TLS 1.0
(esos son los tipos de conexiones que acepta el servidor)
También fui a la pestaña de seguridad y agregué el sitio a la Lista de sitios de excepción
Por último, entré en la pestaña Java e hice clic en Ver. Luego deseleccioné Java 1.7.0_51 de mis JRE instalados.
No tengo del todo claro cómo/por qué funcionó todo esto cuando no funcionó la desinstalación y desactivación de otras versiones de Java. Pero me alegro de tener el sitio funcionando de nuevo.
Espero que esto ayude a alguien más en el futuro.
