Cadena dividida de expresión regular de Oracle desde la última aparición

Puede hacerlo sin el doble reverso extrayendo diferentes grupos de captura (rodeado de ronda () corchetes):

WITH t ( VAL ) AS (
  SELECT 'my_new_table_2015_06_31' FROM DUAL UNION ALL
  SELECT 'my_new_table_temp_2016_06_31' FROM DUAL
)
SELECT REGEXP_SUBSTR( val, '^(.*)_([^_]+)_([^_]+)_([^_]+)$', 1, 1, NULL, 1 ) AS COL4,
       REGEXP_SUBSTR( val, '^(.*)_([^_]+)_([^_]+)_([^_]+)$', 1, 1, NULL, 2 ) AS COL3,
       REGEXP_SUBSTR( val, '^(.*)_([^_]+)_([^_]+)_([^_]+)$', 1, 1, NULL, 3 ) AS COL2,
       REGEXP_SUBSTR( val, '^(.*)_([^_]+)_([^_]+)_([^_]+)$', 1, 1, NULL, 4 ) AS COL1
FROM   t

Incluso podría hacer que la expresión regular sea mucho más simple simplemente usando:

'^(.+)_(.+)_(.+)_(.+)$'

El primer .+ es codicioso, por lo que coincidirá tanto como sea posible hasta que solo quede suficiente de la cadena para las coincidencias mínimas en los grupos de captura 2º - 4º.

Sin embargo, no necesita expresiones regulares :

WITH t ( VAL ) AS (
  SELECT 'my_new_table_2015_06_31' FROM DUAL UNION ALL
  SELECT 'my_new_table_temp_2016_06_31' FROM DUAL
)
SELECT SUBSTR( val, 1,        pos1 - 1        ) AS col4,
       SUBSTR( val, pos1 + 1, pos2 - pos1 - 1 ) AS col3,
       SUBSTR( val, pos2 + 1, pos3 - pos2 - 1 ) AS col2,
       SUBSTR( val, pos3 + 1                  ) AS col1
FROM   (
  SELECT val,
         INSTR( val, '_', -1, 1 ) AS pos3,
         INSTR( val, '_', -1, 2 ) AS pos2,
         INSTR( val, '_', -1, 3 ) AS pos1
  FROM   t
);