No se encontró un controlador adecuado para 'jdbc:mysql://localhost:3306/mysql

En este caso particular (suponiendo que Class#forName() no lanzó una excepción; su código continúa con la ejecución en lugar de lanzar la excepción), esta SQLException significa que Driver#acceptsURL() ha devuelto false para cualquiera de los controladores cargados.

Y, de hecho, su URL de JDBC es incorrecta:

String url = "'jdbc:mysql://localhost:3306/mysql";

Eliminar la comilla simple:

String url = "jdbc:mysql://localhost:3306/mysql";

Ver también:

• Mini tutorial sobre conectividad MySQL + JDBC