Tratar de obtener la propiedad de no-objeto en

Consulte el manual para mysql_fetch_object() . Devuelve un objeto, no una matriz de objetos.

Supongo que quieres algo como esto

$results = mysql_query("SELECT * FROM sidemenu WHERE `menu_id`='".$menu."' ORDER BY `id` ASC LIMIT 1", $con);

$sidemenus = array();
while ($sidemenu = mysql_fetch_object($results)) {
    $sidemenus[] = $sidemenu;
}

¿Puedo sugerirle que eche un vistazo a PDO? PDOStatement::fetchAll(PDO::FETCH_OBJ) hace lo que asumiste mysql_fetch_object() hacer