¿Cómo selecciono entre el primer día del mes actual y el día actual en MySQL?

select * from table_name 
where (date between  DATE_ADD(LAST_DAY(DATE_SUB(CURDATE(), interval 30 day), interval 1 day) AND CURDATE() )

O mejor:

select * from table_name 
where (date between  DATE_FORMAT(NOW() ,'%Y-%m-01') AND NOW() )