Incrementar un campo de base de datos en 1

Actualizar una entrada:

Un simple incremento debería ser suficiente.

UPDATE mytable 
  SET logins = logins + 1 
  WHERE id = 12

Insertar nueva fila o Actualizar si ya está presente:

Si desea actualizar una fila existente previamente, o insertarla si aún no existe, puede usar REPLACE sintaxis o el INSERT...ON DUPLICATE KEY UPDATE opción (Como Rob Van Dam demostrado en su respuesta ).

Insertar una nueva entrada:

O quizás esté buscando algo como INSERT...MAX(logins)+1 ? Básicamente, ejecutaría una consulta como la siguiente, quizás un poco más compleja según sus necesidades específicas:

INSERT into mytable (logins) 
  SELECT max(logins) + 1 
  FROM mytable