¿El equivalente de la función SCOPE_IDENTITY() de SQLServer en mySQL?

Esto es lo que buscas:

LAST_INSERT_ID()

En respuesta al comentario del OP, creé la siguiente prueba de banco:

CREATE TABLE Foo
(
    FooId INT AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY
);

CREATE TABLE Bar
(
    BarId INT AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY
);

INSERT INTO Bar () VALUES ();
INSERT INTO Bar () VALUES ();
INSERT INTO Bar () VALUES ();
INSERT INTO Bar () VALUES ();
INSERT INTO Bar () VALUES ();

CREATE TRIGGER FooTrigger AFTER INSERT ON Foo
    FOR EACH ROW BEGIN
        INSERT INTO Bar () VALUES ();
    END;

INSERT INTO Foo () VALUES (); SELECT LAST_INSERT_ID();

Esto devuelve:

+------------------+
| LAST_INSERT_ID() |
+------------------+
|                1 |
+------------------+

Entonces usa el LAST_INSERT_ID() de la tabla original y no de la tabla INSERT insertado dentro del gatillo.

Editar: Me di cuenta después de todo este tiempo que el resultado de SELECT LAST_INSERT_ID() mostrado en mi respuesta fue incorrecto, aunque la conclusión al final fue correcta. He actualizado el resultado para que tenga el valor correcto.