Usando variables en MySQL UPDATE (PHP/MySQL)

$query = mysql_query("UPDATE article set com_count = $comments_count WHERE article_id = $art_id");

Estabas estropeando las comillas y las concatenaciones.

Puede usar variables en línea como en el ejemplo anterior o combinarlas como:

$query = mysql_query("UPDATE article set com_count = " . $comments_count . " WHERE article_id = " . $art_id);