INNER JOIN misma tabla

Creo que el problema está en tu JOIN condición.

SELECT user.user_fname,
       user.user_lname,
       parent.user_fname,
       parent.user_lname
FROM users AS user
JOIN users AS parent 
  ON parent.user_id = user.user_parent_id
WHERE user.user_id = $_GET[id]

Editar :Probablemente deberías usar LEFT JOIN si hay usuarios sin padres.