Las tablas InnoDB existen en MySQL pero dice que no existen después de copiar la base de datos al nuevo servidor

La razón "mostrar tablas"; funciona porque mysqld escaneará el directorio de la base de datos solo en busca de archivos .frm. Mientras existan, verá una definición de tabla.

Si importó los datos a MySQL y aparece este mensaje de error, lo primero que haría inmediatamente sería ejecutar este comando:(Por cierto, esto es MySQL 5.1.45, pero funciona en MySQL 5.x de todos modos)

mysql> show engines;
+------------+---------+----------------------------------------------------------------+--------------+------+------------+
| Engine     | Support | Comment                                                        | Transactions | XA   | Savepoints |
+------------+---------+----------------------------------------------------------------+--------------+------+------------+
| InnoDB     | YES     | Supports transactions, row-level locking, and foreign keys     | YES          | YES  | YES        |
| MRG_MYISAM | YES     | Collection of identical MyISAM tables                          | NO           | NO   | NO         |
| BLACKHOLE  | YES     | /dev/null storage engine (anything you write to it disappears) | NO           | NO   | NO         |
| CSV        | YES     | CSV storage engine                                             | NO           | NO   | NO         |
| MEMORY     | YES     | Hash based, stored in memory, useful for temporary tables      | NO           | NO   | NO         |
| FEDERATED  | NO      | Federated MySQL storage engine                                 | NULL         | NULL | NULL       |
| ARCHIVE    | YES     | Archive storage engine                                         | NO           | NO   | NO         |
| MyISAM     | DEFAULT | Default engine as of MySQL 3.23 with great performance         | NO           | NO   | NO         |
+------------+---------+----------------------------------------------------------------+--------------+------+------------+
8 rows in set (0.00 sec)

Si el servidor al que importó los datos dice que InnoDB está deshabilitado, entonces tiene un gran problema. Esto es lo que debe hacer:

1) Suelte todos los datos del nuevo servidor de base de datos de importación

2) Limpieza de la configuración de InnoDB