PDO - Error fatal:llamada a una función miembro fetch () en un no objeto

Su código tiene la variable $username en la parte superior de su pregunta, pero luego tiene $user en la sección inferior.

¿Quizás quieres usar la misma variable?

$username = ($_GET ['user']);
$sth = $dbh->query( "SELECT username, user_state, last_activity, alerts_unread, conversations_unread, message_count 
  FROM xf_user WHERE username='$user'" );
  //                           ^^ Should this ALSO be $username ?   
$row = $sth->fetch();

Editar:Bien, ahora solo estás siendo lindo con tu PDO::ATTR_EMULATE_PREPARES . Observa esto:

Base de datos y estructura de la tabla:

Database changed
mysql> show tables
    -> ;
+----------------+
| Tables_in_prep |
+----------------+
| users          |
+----------------+
1 row in set (0.00 sec)

mysql> select * from users;
+----+---------+--------+
| id | userid  | pass   |
+----+---------+--------+
|  1 | Fluffeh | mypass |
+----+---------+--------+
1 row in set (0.00 sec)

Y algo de código PHP copiado del tuyo, con el atributo PDO añadido:

<?php
    //$username = ($_GET ['user']);
    $username="Fluffeh";

    $dbh = new PDO('mysql:host=localhost;dbname=prep', 'prepared', 'example');
    $dbh->setAttribute(PDO::ATTR_DEFAULT_FETCH_MODE, PDO::FETCH_OBJ);

    $sth = $dbh->query( "SELECT userid, pass FROM users WHERE userid='$username'" );
    echo "Trying to use $username.\n";
    print_r($sth->fetch());
    echo "----------------------------------------\n\n";
?>

<?php
    //$username = ($_GET ['user']);
    $username="user2693017";

    $dbh = new PDO('mysql:host=localhost;dbname=prep', 'prepared', 'example');
    $dbh->setAttribute(PDO::ATTR_DEFAULT_FETCH_MODE, PDO::FETCH_OBJ);

    $sth = $dbh->query( "SELECT userid, pass FROM users WHERE userid='$username'" );
    echo "Trying to use $username.\n";
    print_r($sth->fetch());
    echo "----------------------------------------\n\n";
?>

<?php
    //$username = ($_GET ['user']);
    $username="Oh my' or 1=1 or 'm=m";

    $dbh = new PDO('mysql:host=localhost;dbname=prep', 'prepared', 'example');
    $dbh->setAttribute(PDO::ATTR_DEFAULT_FETCH_MODE, PDO::FETCH_OBJ);

    $sth = $dbh->query( "SELECT userid, pass FROM users WHERE userid='$username'" );
    echo "Trying to use $username.\n";
    print_r($sth->fetch());
    echo "----------------------------------------\n\n";
?>

<?php
    //$username = ($_GET ['user']);
    $username="(select id from users limit 1)";

    $dbh = new PDO('mysql:host=localhost;dbname=prep', 'prepared', 'example');
    $dbh->setAttribute(PDO::ATTR_DEFAULT_FETCH_MODE, PDO::FETCH_OBJ);

    $sth = $dbh->query( "SELECT userid, pass FROM users WHERE id='$username'" );
    echo "Trying to use $username.\n";
    print_r($sth->fetch());
    echo "----------------------------------------\n\n";
?>

<?php
    //$username = ($_GET ['user']);
    // Changed this one to be a non-string, you might be checking an ID instead.
    $username="(select id from users limit 1)";

    $dbh = new PDO('mysql:host=localhost;dbname=prep', 'prepared', 'example');
    $dbh->setAttribute(PDO::ATTR_DEFAULT_FETCH_MODE, PDO::FETCH_OBJ);

    $sth = $dbh->query( "SELECT userid, pass FROM users WHERE id=$username" );
    echo "Trying to use $username.\n";
    print_r($sth->fetch());
    echo "----------------------------------------\n\n";
?>

<?php
    //$username = ($_GET ['user']);
    $username="bob'; drop table users; \  
    ";
    // This one is tricker to do in PHP code. I could easily enter this into a text field however.

    $dbh = new PDO('mysql:host=localhost;dbname=prep', 'prepared', 'example');
    $dbh->setAttribute(PDO::ATTR_DEFAULT_FETCH_MODE, PDO::FETCH_OBJ);

    //$sth = $dbh->query( "SELECT userid, pass FROM users WHERE id='$username'" );
    echo "Trying to use $username.\n";
    print_r($sth->fetch());
    echo "----------------------------------------\n\n";
?>

Y la salida:

    Trying to use Fluffeh.
stdClass Object
(
    [userid] => Fluffeh
    [pass] => mypass
)
----------------------------------------


    Trying to use user2693017.
----------------------------------------


    Trying to use Oh my' or 1=1 or 'm=m.
stdClass Object
(
    [userid] => Fluffeh
    [pass] => mypass
)
----------------------------------------


    Trying to use (select id from users limit 1).
----------------------------------------


    Trying to use (select id from users limit 1).
stdClass Object
(
    [userid] => Fluffeh
    [pass] => mypass
)
----------------------------------------


    Trying to use bob'; drop table users; \  
        .
----------------------------------------

Oh, la razón por la que dejé el último hasta el ÚLTIMO es este resultado ahora en mi base de datos:

mysql> show tables;
Empty set (0.00 sec)

Sí, así es, acabo de dejar caer una mesa. Permítanme decirlo nuevamente, tenía una declaración de selección, y con un pequeño truco ingresé un valor que CUALQUIER PERSONA con medio cerebro y alguna intención maliciosa podría hacer en un campo de texto, y DEJÓ SU MESA.

Ahora, concedido, si está configurando las cosas correctamente, bien podría configurar un usuario diferente para las declaraciones de selección, y solo otorgarles select derechos de su base de datos, para evitar que sucedan este tipo de cosas, pero seamos honestos... ¿no es así?

Claramente establecer esa emulación no es suficiente. En serio, ahora POR FAVOR vaya leer esa respuesta , use sentencias preparadas y use params si quiere estar seguro en su código.