Consulta SQL para encontrar el número de amigos mutuos dada una tabla de persona, par de amigos

Puede usar una autounión:

select f1.user as user1, f2.user as user2, count(*) as num_in_common
from friends f1 join
     friends f2
     on f1.friend = f2.friend 
group by f1.user, f2.user;

Puede agregar un where cláusula si desea esta información para un par de usuarios en particular.