falle la instrucción de ejecución con php y mysql

Tienes que usar GROUP BY si desea utilizar COUNT(*) , pero puede obtener el número de filas con mysql_num_rows() así.

$result=mysql_query("SELECT * AS Result FROM users WHERE user_name='$user_name' AND pass='$password_hash' LIMIT 1") or die(mysql_error());
$num_rows = mysql_num_rows($result);