¿Cómo cambiar los valores de columna en MySQL?

Usa coalesce() y una subconsulta

select id, o1, 
       CASE WHEN o2!=o1 THEN o2 END o2,
       CASE WHEN o3!=o2 THEN o3 END o3 
FROM
( select id, coalesce(org1,org2,org3) o1,
             coalesce(org2,org3)      o2,
                      org3            o3 from tbl ) t

ACTUALIZAR

La respuesta anterior no fue suficiente, como descubrió R2D2 con mucha razón. Desafortunadamente, no puede hacer CTE en mysql, así que creé una vista en su lugar (amplié el ejemplo con otra columna org4 ):

CREATE VIEW vert AS 
select id i,1 n, org1 org FROM tbl where org1>'' UNION ALL
select id,2, org2 FROM tbl where org2>'' UNION ALL
select id,3, org3 FROM tbl where org3>'' UNION ALL
select id,4, org4 FROM tbl where org4>'';

Con esta vista ahora es posible hacer lo siguiente:

SELECT id,
(select org from vert where i=id order by n limit 1) org1,
(select org from vert where i=id order by n limit 1,1) org2,
(select org from vert where i=id order by n limit 2,1) org3,
(select org from vert where i=id order by n limit 3,1) org4
FROM tbl

No es hermoso, pero hace el trabajo, mira aquí:SQLfiddle

entrada:

| id |   org1 |   org2 |    org3 |   org4 |
|----|--------|--------|---------|--------|
|  1 |     HR | (null) |   Staff |     IT |
|  2 | (null) |     IT |     Dev | (null) |
|  3 | (null) | (null) | Finance |     HR |

salida:

| id |    org1 |  org2 |   org3 |   org4 |
|----|---------|-------|--------|--------|
|  1 |      HR | Staff |     IT | (null) |
|  2 |      IT |   Dev | (null) | (null) |
|  3 | Finance |    HR | (null) | (null) |