¿Cómo puedo usar $_get con la función build_categories_options?

Para cada categoría, está mostrando dos opciones, una opción vacía y otra con la información de la categoría:

$category_string .= '<option value=""></option><option value="'.$category['catid'].'">'.$opt_value.'</option>';

Esto está dentro de su bucle. Entonces, cada vez que tu ciclo itera, dos se crearán las opciones. Uno en blanco y otro con tu categoría. Apuesto a que solo necesitas uno opción en blanco al principio de <select> . Creo que esto es lo que querías:

// notice we are initializing $category_string with an empty option here
$category_string = '<option value=""></option>';

function build_categories_options($parent, $categories, $level) {
    global $category_string;
    if (isset($categories[$parent]) && count($categories[$parent])) {
        $level .= " - ";
        foreach ($categories[$parent] as $category) {
            $opt_value = substr($level.$category['catname'],3);

            // removed extra empty category and put it in $category_string initialization
            $category_string .= '<option value="'.$category['catid'].'">'.$opt_value.'</option>';
            build_categories_options($category['catid'], $categories, $level);
        }
        $level = substr($level, -3);
    }
    return $category_string;
}

Además, como @MoeTsao mencionó en los comentarios, trate de evitar el uso de mysql_* funciones, ya que PHP desaconseja su uso. En su lugar, use mysqli_* o PDO .