¿Cómo puedo verificar si MySQL y Tomcat se están ejecutando?

La forma más sencilla sería simplemente conectar el servidor y ver si tiene éxito.

MySQL:

Connection connection = null;
try {
    connection = DriverManager.getConnection(url, username, password);
    // Succes!
} catch (SQLException e) {
    // Fail!
} finally {
    if (connection != null) try { connection.close(); } catch (SQLException ignore) {}
}

Gato:

try {
    new URL(url).openConnection().connect();
    // Succes!
} catch (IOException e) {
    // Fail!
}

Si desea un estado un poco más específico, p. verificando si una determinada tabla de base de datos está disponible o un recurso de aplicación web específico está disponible, luego debe activar un SELECT más específico declaración o solicitud HTTP respectivamente.