¿Cómo hago referencia a un atributo dentro de una tabla a un valor dentro de una nueva fila dentro de la misma tabla?

Si no tiene un servidor Mysql 8.x, puede usar esto.

CREATE TABLE table1
(`Name_ID {FK}` int, `Completion_Date` varchar(10), `New_Time` int)
;

INSERT INTO table1
(`Name_ID {FK}`, `Completion_Date`, `New_Time`)
VALUES
(001, '16/01/2019', 108),
(001, '16/02/2019', 123),
(001, '16/03/2019', 136)
;

Y puedes usar esto

select  `Name_ID {FK}`,`Completion_Date`,@quot old_time, @quot:=`New_Time` new_time
 from table1 p,(SELECT @quot := 0) r
 order by  `Name_ID {FK}`,`Completion_Date`;

para obtener este resultado:

Name_ID {FK}    Completion_Date     old_time    new_time
  1              16/01/2019            0           108
  1              16/02/2019            108         123
  1              16/03/2019            123         136

Se basa en esta Simular función de retraso en MySQL